Закон движения точки с постоянным ускорением

1. МЕХАНИКА
1.1. Кинематика

Движение с ускорением

Равноускоренное прямолинейное движение – движение по прямой с постоянным ускорением (а = const ).

Ускорение а (размерность: м/с 2 ) – векторная физическая величина, показывающая, на сколько изменяется скорость тела за 1 с.

В векторном виде:

В проекции на ось ОХ формула аналогичная

Знаки проекции ускорения зависят от направления вектора ускорения и оси – сонаправлены они или направлены противоположно.

Измерительный прибор – акселерометр. (В ЕГЭ по физике есть вопросы, каким прибором что измеряют.)

График ускорения – зависимость проекции ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном прямолинейном движении – прямая, параллельная оси времени (1, 2).
Чем дальше график от оси времени (2), тем больше модуль ускорения.

Мгновенная скорость – скорость в данный момент времени или в данном месте пространства .

Скорость при равноускоренном прямолинейном движении.

В векторном виде,
в проекции на ось OX,
с учетом знака ускорения («+» разгон, «-» торможение):


График мгновенной скорости – зависимость проекции скорости от времени.

График скорости при равноускоренном прямолинейном движении – прямая (1, 2, 3). Если график располагается над осью времени, то тело движется по направлению оси ОХ.

Чем больше угол наклона графика (3), тем больше модуль ускорения.

Если график пересекает ось времени (2), то на первом этапе тело тормозило, в какой-то момент скорость его стала равной нулю, и далее тело двигалось ускоренно в противоположную сторону.

Геометрический смысл перемещения

Модуль перемещения при равноускоренном прямолинейном движенииравен площади трапеции под графиком скорости.

Формулы для определения кинематических величин равноускоренного прямолинейного движения:


«Без ускорения» и «без времени» означает, что в этих формулах не фигурирует ускорение и время, но это не значит, что ускорение равно нулю.
Цветом выделены основные формулы, остальные легко выводятся из них.

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении позволяет определить кинематические величины равноускоренного прямолинейного движения даже в тех случаях, когда направление движения меняется:

Графики кинематических величин прямолинейного движения.
Их ндо уметь читать и рисовать. По горизонтальной оси обычно время. По вертикальной оси. будьте внимательны!

Свободное падение

Это частный случай движения с ускорением.

• Свободное падение происходит под действием только силы тяжести. Подробнее о связи силы с ускорением будет в теме «Динамика», второй закон Ньютона.

• Сопротивление воздуха обычно не учитывается.

• Все тела независимо от массы падают (в вакууме или без учета сопротивления воздуха) с одинаковым ускорением.

• Ускорение свободного падения всегда направлено вниз, к центру Земли и равно g = 9,8 м/с 2 ; в задачах округляется до
g = 10 м/с 2 .

• Свободное падение по вертикали – пример равноускоренного прямолинейного движения.

• В задачах на свободное падение единицы измерения всех величин сразу следует переводить в СИ.

Основные формулы для определения кинематических величин при свободном падении (вертикальный бросок) те же, что даны выше. При этом ускорение a=g=10 м/с 2 .

Уравнение координаты при свободном падении позволяет определить кинематические величины свободного падения даже в тех случаях, когда направление движения изменяется. Уравнение координаты позволяет определить высоту тела в любой момент времени.

В разделе «Динамика» рассмотрим более сложные случаи:
— Тело подбросили от земли и поймали на некоторой высоте.
— Тело подбросили от земли, на одной и той же высоте оно побывало дважды.
— Горизонтальный бросок (движение по параболе). Бросок под углом к горизонту.

kiselevich.ru

Закон движения точки с постоянным ускорением

Равноускоренным называют движение с постоянным ускорением. Простейшим примером такого движения является свободное падение тел, изучением которых занимался ещё Галилео Галилей. Скорость движения при этом не остаётся постоянной: в общем случае она меняется и по модулю, и по направлению. Описание данного движения значительно сложнее по сравнению с равномерным прямолинейном. Действия с числами здесь заменяют на действия с векторами, так как векторы содержат в себе информацию о направлений величин, характеризующих движение (о скорости, ускорений, перемещений).
Ускорение при равноускоренном движений показывает, на сколько изменяется скорость тела за каждую секунду движения:

(1)

Где V0 – начальная скорость тела, а V скорость того же тела спустя некоторое время t.
Ускорение показывает изменение скорости за единицу времени.
Из определения ускорения следует, что мгновенная скорость тела при равноускоренном движении изменяется с течением времени по линейному закону:

(2)

Эта формула позволяет по начальной скорости и ускорению тела вычислить его скорость в любой момент времени t. Между тем основная задача механики заключается в определении того, где будет находиться тело спустя заданное время. Для её решения необходимо знать перемещение, совершённое телом за это время. Перемещение можно найти, умножив среднюю скорость на время движения:

При равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей движения:

Подставляя сюда выражения (2), получаем:

Именно это уравнение является обобщением формулы:s=vt на случай движения с постоянным ускорением.
Уравнения (1),(2),(3) – векторные. Действия с векторами отличаются от действий с числами, поэтому никакие числовые значения перемещения, скорости и ускорения в такие уравнения подставлять нельзя. Между тем любые расчёты требуют проведений операций именно с числами. Чтобы это стало возможным, необходимо от векторного способа описания движения перейти к координатному. При координатном описаний движения вместо векторов используют проекций на оси координат. Поскольку любой вектор характеризуется тремя проекциями на оси X,Y и Z, следовательно каждому вектору уравнению в общем случае будут соответствовать три уравнения в координатной форме. Для плоского (двухмерного) движения таких уравнений только два. Если же движение является прямолинейным, то для его описания достаточно одного уравнения в проекций на ось X(при условии, что эта ось направлена параллельно вектору скорости частицы). Тогда уравнения (2) и (3).например, можно записать следующим образом:

При координатном описаний движения, координота тела будет равна:

w-site.narod.ru

§ 10. Движение с постоянным ускорением

Какая величина, характеризующая движение точки, не зависит от выбора системы отсчёта?

Может ли в одной системе отсчёта точка покоиться, а в другой двигаться?

Выясним зависимость скорости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой

Пусть 0 — скорость точки в начальный момент времени t0, а — её скорость в некоторый момент времени t, тогда за промежуток времени Δt = t — t0 изменение скорости Δ = 0, и формула для ускорения примет вид

Если начальный момент времени t0 принять равным нулю, то получим

Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой момент времени при её движении с постоянным ускорением:

= 0 + t. (1.11)

Векторному уравнению (1.11) соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и Y:

x = 0x +axt, (1.12)
y = 0y + ayt.

Как видим, при движении с постоянным ускорением скорость со временем меняется по линейному закону.

Итак, для определения скорости в произвольный момент времени надо знать начальную скорость 0 и ускорение t Начальную скорость нужно измерить. Ускорение, как мы увидим в дальнейшем, можно вычислить. Начальная скорость зависит от условий, при которых началось движение. Начальная скорость, например, падающего камня зависит от того, выпустили его из рук или же бросили, совершив некоторое усилие.

Ускорение же, наоборот, не зависит от того, что происходило с телом в предыдущие моменты, а зависит лишь от действия на него других тел в данный момент времени.

Одинакова ли будет конечная скорость камня, если его сначала бросить вверх с некоторой начальной скоростью, а затем вниз с такой же начальной скоростью?

Зависимость проекции скорости от времени можно изобразить наглядно с помощью графика.

Если начальная скорость равна нулю, то график зависимости проекции скорости на ось X от времени имеет вид прямой, выходящей из начала координат. Такая зависимость скорости от времени наблюдается при падении тела, покоившегося в начальный момент времени, с некоторой высоты или при движении автомобиля, трогающегося с места. На рисунке 1.31 представлен этот график в виде прямой 1 для случая ах > 0. По этому графику можно найти проекцию ускорения на ось X:

Чем больше ах, тем больший угол α с осью времени составляет график проекции скорости, так как за тот же промежуток времени скорость изменяется больше.

Если начальная скорость отлична от нуля и тело движется с большим, но также постоянным ускорением, то график зависимости проекции скорости от времени имеет вид прямой 2 (см. рис. 1.31).

В случае равнозамедленного движения с той же начальной скоростью график зависимости х от времени имеет вид прямой 3. Обратите внимание: так как углы α2 и α3 по модулю равны, то равны по модулю проекции ускорения: |ах2| = |ах3|.

Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени.

Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе её координаты х и у. Обозначим через x0 и у0 координаты в начальный момент времени t0 = 0, а через х и у координаты в момент времени f. Тогда за время Δt = t — t0 = t изменения координат будут равны

Значит, для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать её начальные координаты и уметь находить изменения координат Δх и Δу за время движения.

В случае движения, при котором проекция скорости изменяется со временем (рис. 1.32, кривая 1), величину Δx: за время t найдём следующим образом. Из § 4 мы знаем, что при равномерном движении изменение координаты точки за время Δt можно определить на графике зависимости х(t) по площади прямоугольника. На рисунке 1.32 длина отрезка ОС численно равна времени движения.

Можно ли по графику зависимости х(t) определить путь, пройденный телом?

Разделим его на малые интервалы Δt, в пределах которых проекцию скорости можно считать постоянной и равной её среднему значению. Рассмотрим интервал Δti Тогда Δxi = icpΔti, и соответственно площадь заштрихованного прямоугольника численно равна изменению координаты точки за время Δti. Сумма всех таких площадей численно равна изменению координаты точки за время t. Чем меньше интервал Δt, тем точнее будет результат. При стремлении Δt к нулю значение площади фигуры АВСО будет стремиться к числовому значению изменения координаты точки Δх.

В случае равноускоренного (ах = const) движения (рис. 1.32, прямая 2) изменение координаты тела Δх численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения.

Как по графику (см. рис. 1.32) используя тот факт, что площадь фигуры под графиком численно равна изменению координаты, определить среднюю скорость движения?

www.xn--24-6kct3an.xn--p1ai

Движение с постоянным ускорением

«Физика — 10 класс»

Какая величина, характеризующая движение точки, не зависит от выбора системы отсчёта?
Может ли в одной системе отсчёта точка покоиться, а в другой двигаться?

Выясним зависимость скорости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой

Пусть 0 — скорость точки в начальный момент времени t0, а — её скорость в некоторый момент времени t, тогда за промежуток времени Δt = t — t0 изменение скорости Δ = 0, и формула для ускорения примет вид

Если начальный момент времени t0 принять равным нулю, то получим

Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой момент времени при её движении с постоянным ускорением:

= 0 + t. (1.11)

Векторному уравнению (1.11) соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и Y:

Как видим, при движении с постоянным ускорением скорость со временем меняется по линейному закону.

Итак, для определения скорости в произвольный момент времени надо знать начальную скорость 0 и ускорение t Начальную скорость нужно измерить. Ускорение, как мы увидим в дальнейшем, можно вычислить. Начальная скорость зависит от условий, при которых началось движение. Начальная скорость, например, падающего камня зависит от того, выпустили его из рук или же бросили, совершив некоторое усилие.

Ускорение же, наоборот, не зависит от того, что происходило с телом в предыдущие моменты, а зависит лишь от действия на него других тел в данный момент времени.

Интересно, одинакова ли будет конечная скорость камня, если его сначала бросить вверх с некоторой начальной скоростью, а затем вниз с такой же начальной скоростью?

Зависимость проекции скорости от времени можно изобразить наглядно с помощью графика.

Если начальная скорость равна нулю, то график зависимости проекции скорости на ось X от времени имеет вид прямой, выходящей из начала координат. Такая зависимость скорости от времени наблюдается при падении тела, покоившегося в начальный момент времени, с некоторой высоты или при движении автомобиля, трогающегося с места. На рисунке 1.31 представлен этот график в виде прямой 1 для случая ах > 0. По этому графику можно найти проекцию ускорения на ось X:

Чем больше ах, тем больший угол α с осью времени составляет график проекции скорости, так как за тот же промежуток времени скорость изменяется больше.

Если начальная скорость отлична от нуля и тело движется с большим, но также постоянным ускорением, то график зависимости проекции скорости от времени имеет вид прямой 2 (см. рис. 1.31).

В случае равнозамедленного движения с той же начальной скоростью график зависимости Vх от времени имеет вид прямой 3. Обратите внимание: так как углы α2 и α3 по модулю равны, то равны по модулю проекции ускорения: |ах2| = |ах3|.

Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени.

Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе её координаты х и у. Обозначим через x0 и у0 координаты в начальный момент времени t0 = 0, а через х и у координаты в момент времени f. Тогда за время Δt = t — t0 = t изменения координат будут равны

Значит, для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать её начальные координаты и уметь находить изменения координат Δх и Δу за время движения.

В случае движения, при котором проекция скорости изменяется со временем (рис. 1.32, кривая 1), величину Δx: за время t найдём следующим образом. Из § 4 мы знаем, что при равномерном движении изменение координаты точки за время Δt можно определить на графике зависимости Vх(t) по площади прямоугольника. На рисунке 1.32 длина отрезка ОС численно равна времени движения.

Разделим его на малые интервалы Δt, в пределах которых проекцию скорости можно считать постоянной и равной её среднему значению. Рассмотрим интервал Δti Тогда Δxi = VicpΔti, и соответственно площадь заштрихованного прямоугольника численно равна изменению координаты точки за время Δti. Сумма всех таких площадей численно равна изменению координаты точки за время t. Чем меньше интервал Δt, тем точнее будет результат. При стремлении Δt к нулю значение площади фигуры АВСО будет стремиться к числовому значению изменения координаты точки Δх.

В случае равноускоренного (ах = const) движения (рис. 1.32, прямая 2) изменение координаты тела Δх численно равно площади трапеции АВСО. Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения.

По формуле для площади трапеции имеем

Мы рассмотрели случай, когда V0x > 0 и ах > 0. Но полученная формула справедлива и тогда, когда одна из этих величин отрицательна или когда обе они отрицательны.

Изменение координаты Δу можно найти таким же способом, и выражение имеет аналогичный вид

Подставив найденные выражения для изменения координат Δx и Δу в формулы (1.13), получим уравнения для координат при движении с постоянным ускорением как функции времени (их называют кинематическими уравнениями движения):

Эти формулы применимы для описания как прямолинейного, так и криволинейного движения точки. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным.

Обычно в условиях задачи даются значения (модули) скоростей и ускорений. Поэтому удобнее использовать уравнение где υ0 и а — модули начальной скорости и ускорения. Очевидно, что в этом уравнении знак « + » берётся тогда, когда направления скорости 0 и ускорения совпадают с направлением оси ОХ, знак «—» — когда они направлены в противоположную сторону.

Движение вдоль прямой с постоянным ускорением, при котором модуль скорости увеличивается, называется прямолинейным равноускоренным движением, а прямолинейное движение с постоянным ускорением, при котором модуль скорости уменьшается, называется равнозамедленным.

При движении точки в плоскости XOY двум уравнениям (1.14) соответствует одно векторное уравнение

Обратите внимание на то, что с помощью формул (1.14) и (1.15) можно найти только положение движущейся точки в любой момент времени. Для нахождения пути необходимо более подробно исследовать траекторию, определить точки, в которых, возможно, произошло изменение направления движения.

Свободное падение тел.

Вспомним теперь частный случай движения с постоянным ускорением, которое называется свободным падением тел. Это движение опытным путём изучал великий итальянский учёный Галилео Галилей.

Каждый из нас наблюдал, что при падении тела на Землю из состояния покоя оно увеличивает свою скорость, т. е. движется с ускорением. Это ускорение сообщает ему земной шар. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это. Например, птичье перо или лист бумаги падают гораздо медленнее, чем камень. Вот почему со времён Аристотеля (греческого учёного, жившего в IV в. до н. э.) считалось незыблемым мнение, что ускорение, сообщаемое Землёй телу, тем больше, чем тяжелее тело.

Только Галилею в конце XVI в. удалось опытным путём доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы.

Прост и убедителен опыт, проведённый впервые Ньютоном. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего упадёт дробинка, за ней — кусочек пробки и наконец плавно опустится пушинка. Но если выкачать из трубки воздух, то мы увидим, что все три тела упадут одновременно. Значит, движение пушинки задерживалось ранее сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что вблизи поверхности Земли ускорение всех падающих тел одинаково и постоянно.

Движение тела только под влиянием притяжения его к Земле называют свободным падением, а ускорение, сообщаемое Землёй всем телам, называют ускорением свободного падения. Оно всегда направлено вертикально вниз, т. е. вдоль нити отвеса, определяющей вертикаль. Его принято обозначать .

Свободное падение — это не обязательно движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнёт падать.

Ускорение свободного падения изменяется в зависимости от географической широты места на поверхности Земли и от высоты тела над Землёй, точнее, от расстояния до центра Земли. На широте Москвы измерения дают следующее значение ускорения свободного падения: g ≈ 9,82 м/с 2 . Вообще же на поверхности Земли g меняется в пределах от 9,78 м/с 2 на экваторе до 9,83 м/с 2 на полюсе.

Если подняться на 1 км над уровнем моря, то ускорение свободного падения уменьшится примерно на 0,00032 своего значения в данном месте Земли. На высоте 100 км над полюсом Земли оно примерно равно 9,53 м/с 2 .

При падении тел в воздухе на их движение влияет сопротивление воздуха. Поэтому ускорение тел не равно ускорению свободного падения. Но когда движутся такие тела, как камень, спортивное ядро и т. д., сопротивление воздуха влияет на их движение незначительно. В этом случае движение тел можно рассматривать как свободное падение. Лишь при больших скоростях (снаряд, пуля и т. д.) сопротивление воздуха становится существенным. Для лёгких тел типа пушинки сопротивление воздуха существенно и при малых скоростях.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

class-fizika.ru

Закон движения точки с постоянным ускорением

§ 5. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ: УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СКОРОСТИ И ПРОЙДЕННОГО ПУТИ

Прямолинейное движение с постоянным ускорением называют равноускоренным, если модуль скорости увеличивается со временем, или равнозамедленным, если он уменьшается.

Примером ускоренного движения может быть падение цветочного горшка с балкона невысокого дома. В начале падения скорость горшка равна нулю, но за несколько секунд она успевает вырасти до десятков м/с. Примером замедленного движения является движение камня, брошенного вертикально вверх, скорость которого сначала большая, но потом постепенно уменьшается до нуля в верхней точке траектории. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то ускорение в обоих этих случаях будет одинаково и равно ускорению свободного падения, которое всегда направлено вертикально вниз, обозначается буквой g и равно примерно 9,8 м/с 2 .

Ускорение свободного падения, g вызвано силой притяжения Земли. Эта сила ускоряет все тела, движущиеся по направлению к земле, и замедляет те, которые движутся от неё.

Чтобы найти уравнение для скорости при прямолинейном движении с постоянным ускорением, будем считать, что в момент времени t =0 тело имело начальную скорость v 0 . Так как ускорение a постоянно, то для любого момента времени t справедливо следующее уравнение:

Чтобы вывести уравнение для пути, пройденного при прямолинейном движении с постоянным ускорением, построим сначала график зависимости скорости от времени (5.1). Для a >0 график этой зависимости изображён слева на рис.5 (синяя прямая). Как мы установили в §3, перемещение, совершённое за время t , можно определить, если вычислить площадь под кривой зависимости скорости от времени между моментами t =0 и t . В нашем случае фигура под кривой, ограниченная двумя вертикальными линиями t =0 и t , представляет собой трапецию OABC , площадь которой S , как известно, равна произведению полусуммы длин оснований OA и CB на высоту OC :

kaf-fiz-1586.narod.ru

admin